Siano $I$ un ideale di un anello $R$ e $\sigma$ una congruenza su un semigruppo $S$. Consideriamo l'anello semigruppo $(R/I)(S/\sigma)$ come un'immagine omomorfa dell'anello semigruppo $R(S)$. Questo è fatto in tre passi: prima studiando l'anello semigruppo $R(S/\sigma)$, poi $(R/I)(S)$ e infine combinando i due casi speciali. In ciascun caso, determiniamo l'ideale che è il nucleo dell'omomorfismo in questione. I risultati corrispondenti per le $C$-algebre, dove $C$ è un anello commutativo, possono essere facilmente dedotti. Alcuni raffinamenti, casi speciali e presentazioni di anelli e semigruppi sono anche considerati.