In questo lavoro si considera una classe di funzionali integrali, il cui integrando verifica le seguenti condizioni \begin{gather*} f(x, \eta, \xi) \geq a(x) \frac{|\xi|^{p}}{(1 + |\eta|)^{\alpha}} - b_{1}(x)|\eta|^{\beta_{1}}-g_{1}(x),\\ f(x, \eta, 0)\leq b_{2}(x)|\eta|^{\beta_{2}}+ g_{2}(x), \end{gather*} dove $0\leq \alpha <p$, $1 \leq \beta_{1} < p$, $0\leq \beta_{2}< p$, $\alpha+\beta_{i}\leq p$, $a(x)$, $b_{i}(x)$, $g_{i}(x)$ ($i= 1$, $2$) sono funzioni non negative che soddisfano opportune ipotesi di sommabilità. Si dimostra l'esistenza e la limitatezza di minimi di tali funzionali nella classe di funzioni appartenenti allo spazio di Sobolev pesato $W^{1,p}(a)$, che assumono un assegnato dato al bordo $u_{0}\in W^{1,p}(a)\cap L^{\infty}(\Omega)$.