Esprimiamo la funzione $\Delta(x, N)$ definita nel titolo, per $x=\frac{a}{q}$ con $q$ primo, mediante i caratteri modulo $q$. Utilizzando questo risultato dimostriamo che il confine inferiore universale per $\Delta(N)= \sup_{x\in \mathbb{R}} |\Delta (x,N)|$ può, in generale, essere sostanzialmente migliorato quando $N$ è composto di primi che appartengono ad una fissata classe di resti modulo $q$. Otteniamo inoltre un analogo miglioramento nel caso in cui $N$ sia il prodotto dei primi $s$ primi, per infiniti valori di $s$.