In questo lavoro vengono riassunti i risultati ottenuti nello studio di un problema unidimensionale a frontiera libera per l'equazione del calore. Tale problema scaturisce dallo studio di un modello matematico per il flusso di un fluido di Bingham con nucleo visco-elastico. La principale caratteristica del problema risiede nella particolare struttura della condizione imposta sulla frontiera, che non permette l'uso di tecniche classiche per la dimostrazione dei risultati di buona posizione. L'esistenza di soluzioni classiche è dimostrata mediante una tecnica di punto fisso basata sul teorema di Schauder. L'unicità viene invece provata con tecniche di formulazione debole.