In questo lavoro presentiamo una formula ricorrente per la successione dei numeri primi $\{p_n\}$, che utilizziamo per trovare una condizione necessaria e sufficiente affinché un numero primo $p_{n+1}$ sia uguale a $p_{n}+2$. Il precedente risultato viene utilizzato per calcolare la probabilità che $p_{n+1}$ sia uguale a $p_{n}+2$. Inoltre proviamo che il limite per $n$ tendente all’infinito della suddetta probabilità è zero. Infine, per ogni numero primo $p_n$ costruiamo una successione i cui termini che appartengono all’intervallo $[p_n^2 - 2 , p_{n+1}^2-2[$ sono i primi termini di due numeri primi gemelli. Questo risultato e alcune sue implicazioni rendono ulteriormente plausibile che l’insieme dei numeri primi gemelli sia infinito.