La teoria degli s-d-anelli, sviluppata in tre precedenti Note lincee [1], [2], [3], viene qui approfondita nel caso di s-d-anelli aventi $\mathbf{Z}_{p}$ come anello delle costanti. Per essi, in questa Nota I ed in una successiva Nota II, vengono stabiliti i due Teoremi specificati nel preambolo, ottenendo anche estensioni mod $p$ di alcuni risultati classici di teoria dei numeri elementare (fattorizzazioni di coefficienti multinomiali, piccolo Teorema di Fermat, criterio di Eulero per i residui quadratici).