Viene presentata una semplice dimostrazione del fatto che se $\Omega$ é un dominio limitato di $\mathbb{R}^{N}$, $N \ge 2$, convesso e simmetrico in $k$ direzioni ortogonali, $1 \le k \le N$, allora gli insiemi nodali delle autofunzioni del laplaciano corrispondenti agli autovalori $\lambda_{2}, \cdots ,\lambda_{k+1}$ hanno intersezione non vuota con la frontiera del dominio. Questo risultato era stato dimostrato da Payne nel caso $N = 2$ per la seconda autofunzione, e da altri autori nel caso di domini piani convessi, sempre per la seconda autofunzione.